이 포스트에서는 게임에 적용되는 기본적인 물리 법칙에 대해 소개한다.
등가속도 운동
속도는 시간에 따른 위치의 변화율, 가속도는 시간에 따른 속도의 변화율이다. 시간 $t$에 대한 위치를 $\textbf{x}(t)$, 속도를 $\textbf{v}(t)$, 가속도를 $\textbf{a}(t)$라고 할 때 아래와 같은 관계가 성립한다.
\[\textbf{a}(t) = \dot{\textbf{v}}(t) = \ddot{\textbf{x}}(t)\]$\dot{f}$는 함수 $f$에 대한 미분이다. 등가속도 운동의 속도는 아래와 같이 정의된다.
\[\textbf{v}(t) = \textbf{v}_0 + \int_0^t \textbf{a}(t)dt = \textbf{v}_0 + \textbf{a}_0t\]$\textbf{v}_0$는 $t=0$에서의 속도이다. 위 속도를 바탕으로 위치를 결정할 수 있다.
\[\textbf{x}(t) = \textbf{x}_0 + \int_0^t \textbf{v}(t)dt = \textbf{x}_0 + \int_0^t(\textbf{v}_0 + \textbf{a}_0t) = \textbf{v}_0t + \dfrac{1}{2}\textbf{a}_0t^2\]$\textbf{x}_0$는 $t=0$에서의 위치이다.
포물선 운동
포물선 운동은 중력에 의해 영향을 받는 물체의 운동으로 3차원 공간에서 중력이 작용하는 axis를 $z$라고 가정할 때 중력 가속도 $\textbf{g} = [0,0,-g]$로 정의된다. 여기서 $g$는 중력 상수로 지구의 지표면을 기준으로 약 $9.8 \ m/s^2$이며 아래쪽 방향으로 작용한다. 포물선 운동에서 위치 $\textbf{x}(t)$는 아래와 같이 정의된다.
\[\textbf{x}(t) = \textbf{x}_0 + \textbf{v}_0t + \dfrac{1}{2}\textbf{g}t^2\]위치 $\textbf{x} = [x, y, z]$라고 할 때 위 수식의 각 성분은 아래와 같이 구성된다.
\[\textbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 + v_xt \\ y_0 + v_yt \\ z_0 + v_zt - \dfrac{1}{2}gt^2 \end{bmatrix}\]중력에 의한 운동에서 발사체가 최대 높이에 도달할 때의 순간 속도 $v = 0$이다. 최대 높이에 도달하는 시간을 $t$라고 할 때 아래와 같은 방식으로 구할 수 있다.
\[\dfrac{d}{dt}z(t) = v_z - gt = 0 \quad \therefore t = \dfrac{v_z}{g}\]위에서 구한 $t$값을 바탕으로 최대 높이 $h$를 구할 수 있다.
\[h = z_0 + v_z\dfrac{v_z}{g} - \dfrac{1}{2}g\Big(\dfrac{v_z}{g}\Big)^2 = z_0 + \dfrac{v_z^2}{2g}\]발사체가 발사된 이후 원래 높이 $z_0$로 내려왔을 때의 시간 $t \neq 0$는 아래와 같이 구할 수 있다.
\[z(t) = z_0 + v_zt - \dfrac{1}{2}gt^2 = z_0 \quad \therefore t = \dfrac{2v_z}{g}\]이를 바탕으로 발사체가 원래 높이 $z_0$로 내려올 때까지의 이동한 수평 거리 $r$은 아래와 같이 구할 수 있다.
\[r_x = v_xt = \dfrac{2v_xv_z}{g} \\ r_y = v_yt = \dfrac{2v_yv_z}{g}\]초기 속력 $s$, 최대 높이 $h$가 주어졌을 때 발사체의 발사각 $\theta$는 아래와 같다.
\[h = z_9 + \dfrac{v_z^2}{2g} = z_0 + \dfrac{(s \sin \theta)^2}{2g} \quad \therefore \theta = \sin^{-1} \Big(\dfrac{1}{s}\sqrt{2g(h - z_0)} \Big)\]초기 속력 $s$, 속도 $\textbf{v}$의 $xy$ 평면에 정사영된 벡터의 크기를 $v_{xy}$, 원래 높이로 내려올 때까지의 $xy$평면에서의 수평 이동 거리 $r_{xy} = \lVert r_x + r_y \rVert_2$이 주어져 있을 때 발사체의 발사각 $\theta$는 아래와 같다.
\[r_{xy} = \dfrac{2v_{xy}v_z}{g} = \dfrac{2(s \cos \theta)(s \sin \theta)}{g} = \dfrac{s^2 \sin 2\theta}{g} \quad \therefore \theta = \dfrac{1}{2}\sin^{-1}\dfrac{r_{xy}g}{s^2}\]Force
물체에 힘이 가해지면 운동량과 가속도가 변한다. 여러 힘이 가해질 경우 하나의 전체 힘으로 합할 수 있다.
\[F_{\text{total}} = \sum F_i\]뉴턴 법칙은 아래와 같다.
- 제 1법칙: 관성의 법칙
- 제 2법칙: 가속도 법칙 - $F = ma$
- 제 3법칙: 반작용 법칙 - $F_{ij} = -F_{ji}$
중력
중력은 지구 표면에서 작용하는 힘이다. 이때 중력가속도 $g = -9.8 \ m/s^2$이다.
\[F = mg\]만유인력은 두 물체 사이에 작용하는 힘으로 두 물체 사이의 거리를 $r$, 중력상수 $G = 6.673 \times 10^{-11}$, 두 물체의 질량을 각각 $m$, $M$이라고 할 때 그 수식은 아래와 같다.
\[F = G\dfrac{mM}{r^2}\]수직항력
수직항력은 표면이 물체에 가하는 반작용 힘이다. 항상 표면에 수직인 방향으로 작용한다. 중력 가속도가 $g$, 경사각이 $\theta$일 때 수직항력 $F_n$은 일반적으로 아래와 같다.
\[F_n = -mg\cos\theta\]
(Image source: Wikipedia Normal force)
마찰력
마찰력은 표면 상의 물체의 운동을 방해하는 힘으로 물체에 가해지는 접선 방향 힘의 반대 방향으로 작용한다. 마찰력의 크기는 표면과 특성에 의존한다. 물체의 질량에 비례하나 접촉 면적과는 무관하다. 마찰력 $F_f$는 수직항력 $F_n$으로부터 계산 가능하다.
\[F_f = \mu F_n\]$\mu$는 마찰계수로 표면의 특성에 따라서 정해진다. 마찰력은 운동마찰려과 정지마찰력이 있는데 둘 중 하나만 적용된다. 운동마찰은 서로 상대적으로 움직이는 두 표면 사이에서 발생하는 힘으로 각자의 운동에 대한 저항으로 작용한다. 운동마찰력을 $F_k$, 운동마찰계수를 $\mu_k$라고 할 때 수식은 아래와 같다.
\[F_k = \mu_k F_n\]정지마찰은 표면이 정지된 물체를 움직이지 못하도록 붙들고 있는 힘이다. 정지마찰력을 $F_s$, 정지마찰계수를 $\mu_s$라고 할 때 수식은 아래와 같다.
\[F_s = \mu_s F_n\]정지마찰력 $F_s$일 때 물체에 가해지는 힘 $F$의 크기가 $F_s$보다 큰 순간 물체가 움직이기 시작한다. 그때부터 정지마찰력 $F_s$는 사라지고 운동마찰력 $F_k$가 작용한다. 대체로 $F_k < F_s$인데 정지된 물체를 움직이게 하는 것이 이미 움직이는 물체를 계속 움직이게 하는 것보다 대체로 더 힘들다.
스프링 운동
스프링 운동은 비강체 물체를 모델링하기 위해 주로 쓰인다. rigid body의 움직임을 제약하는 joint를 생성해 처리한다. 스프링 힘(Hooke’s law) $F_s$은 아래와 같다.
\[F_s = -k_sx\]$k_s$는 강성계수이며 두 점의 위치를 각각 $p_0$, $p_1$이라고 할 때 두 물체의 변위 $x = p_1 - p_0$이다. 두 물체의 원래 거리를 $d$라고 할 때 스프링 힘은 아래와 같다.
\[F_s = -k_s(\lVert x \rVert_2 - d)\dfrac{x}{\lVert x \rVert_2}\]두 지점의 거리 $\lVert x \rVert_2$가 $d$보다 가까우면 밀어내고, $d$보다 멀면 당기도록 작용한다.
감쇠력은 에너지 손실을 도입하여 스프링이 무한히 oscillate하지 않도록 하게 한다. 감쇠력 $F_d$는 아래와 같다.
\[F_d = -k_dv\]$k_d$는 점성 감쇠계수이다. 각 위치에서의 속도 벡터를 $v_0$, $v_1$이라고 할 때 속도 변화 $v = v_1 - v_0$이다. 최종적으로 감쇠된 스프링 시스템은 아래와 같이 표현할 수 있다.
\[F = F_s + F_d = -k_sx -k_dv\]운동량
운동량 $p$는 질량과 속도를 곱한 벡터이다.
\[p = mv\]두 물체가 충돌 시 운동량은 보존 되며 이를 운동량 보존 법칙이라고 한다.
\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'\]$v_1$, $v_2$는 충돌 전 각 물체의 속도이며 $v_1’$, $v_2’$은 충돌 후 각 물체의 속도이다.
충돌
충돌을 검사하는 일반적인 방법은 다음과 같이 크게 3가지가 있다.
- Particle vs Plane
- Plane vs Plane
- Edge vs Plane
이 중 Particle vs Plane 충돌이 구현하기 가장 쉬운편이다. 따라서 이 포스트에서는 Particle vs Plane 충돌에 대해 알아본다.
Particle vs Plane Collision Detection
3차원 공간에서 다음과 같은 요소들이 존재한다.
- $\text{x}$ - particle의 위치
- $\text{p}$ - plane 위의 임의의 점
- $\text{n}$ - 평면의 정방향 normal vector
이때 $(\text{x} - \text{p}) \cdot \text{n}$가 0보다 크면 particle은 plane과 $\text{x}$는 충돌 전 상태, 0이면 plane과 접촉, 0보다 작으면 평면을 통과한 상태이다. 이는 내적 자체가 각도 정보를 포함하고 있기 때문이다.
Particle vs Plane Collision Response
실제 collision detection 시 오차로 인해 내적값이 0이 되는 경우를 찾기 어렵다. 따라서 내적 값이 양수 -> 음수로 변할 떄 충돌했다고 가정한다. 즉, 평면을 관통했을 때 충돌했다고 판정한다. 그 후 관통한 particle을 평면 위로 이동시킨 후 충돌에 대한 후처리로 particle이 튕겨져나가는 물리적 처리를 한다.
$\text{v}$ - current velocity of the particle $\text{n}$ - normal vector on the illegal side of the plane (direction vector whose magnitude is 1)
이때 속도 $\text{v}$의 normal 성분인 $\text{v}_n$은 아래와 같다.
\[\text{v}_n = (\text{v} \cdot \text{n})\text{n}\]속도 $\text{v}$의 tangential 성분도 유도 가능하다.
\[\text{v}_t = \text{v} - \text{v}_n\]위 두 벡터를 바탕으로 particle이 튕겨져나가는 bounced response $\text{v}_b$를 구할 수 있다.
\[\begin{aligned} \text{v}_b &= \text{v}_t - \text{v}_n \\ &= (1 - k_f)\text{v}_t - k_r\text{v}_n \end{aligned}\]$k_f$는 마찰계수, $k_r$은 복원계수이다.
물리상태 계산
물체의 이전 물리 상태(위치, 속도 등)와 가해진 힘을 알면 시간에 대한 적분을 통해 물체의 이후 상태를 결정할 수 있다. 아래는 움직임에 대한 수식이다.
\[F = ma \rightarrow a = \dfrac{F}{m} \\ \dfrac{dv}{dt} = a \rightarrow dv = a \ dt \\ \dfrac{dx}{dt} = v \rightarrow dx = v \ dt\]Runge-Kutta 적분법
4차 Runge-Kutta 적분법 (RK4)을 활용하면 상당히 정확한 수치해석적 적분을 구현할 수 있다. 아래와 같은 function $f$와 초기값 $t_0$, $y_0$가 있다고 하자.
\[\dfrac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0\]$y$는 time $t$에 대한 알려지지 않은 함수로 근사화할 대상이다. step-size $h > 0$일 떄 아래와 같은 방식으로 근사화할 수 있다.
\[\begin{aligned} y_{n+1} &= y_n + \dfrac{1}{6}h(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4), \\ t_{n+1} &= t_n + h \end{aligned}\]$y_{n+1}$은 $y(t_{n+1})$에 대한 RK4 근사값으로 next value $y_{n+1}$은 current value $y_n$과 4개의 기울기 요소의 weighted average와의 합으로 구성된다. 기울기 요소는 아래와 같다.
- $k_1 = f(t_n, y_n)$
- $k_2 = f \Big(t_n + \dfrac{h}{2}, y_n + h\dfrac{k_1}{2} \Big)$
- $k_3 = f \Big(t_n + \dfrac{h}{2}, y_n + h\dfrac{k_2}{2} \Big)$
- $k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3)$
아래는 RK4 적분법에서의 기울기 요소를 나타낸다.
(Image source: Wikipedia Runge-Kutta methods)
References
[1] Incheon National University - Game Programming Lecture
[2] Wikipedia Normal force
[3] Wikipedia Runge-Kutta methods